১৮৫৪ সালে প্রখ্যাত ইংরেজ গণিতবিদ জর্জ বুলি সর্বপ্রথম গণিত ও যুক্তির মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে পান যার ওপর ভিত্তি করে তিনি এক ধরণের অ্যালজেবরা বা বীজগণিত আবিষ্কার করেন যা তার নামানুসারে বুলিয়ান অ্যালজেবরা নামে পরিচিত।
বুলিয়ান অ্যালজেবরা মূলত সত্য ও মিথ্যা এই দুই অবস্থার উপর ভিত্তি করে তৈরী। কম্পিউটার যেহেতু বাইনারী পদ্ধতি ব্যবহার করে তাই কম্পিউটার ১ ও ০ দ্বারা যথাক্রমে সত্য ও মিথ্যাকে প্রকাশের মাধ্যমে সকল গানিতিক ও যুক্তিমূলক কাজ করে থাকে।
বুলিয়ান চলক ও ধ্রুবকঃ
বুলিয়ান অ্যালজেবরায় পরিবর্তনশীল রাশি ও অপরিবর্তনশীল রাশিকে যথাক্রমে বুলিয়ান চলক ও ধ্রুবক বলে। যেমনঃ x+1=1; এখানে x হলো বুলিয়ান চলক এবং 1 হলো বুলিয়ান ধ্রুবক।
বুলিয়ান অ্যালজেবরার মৌলিক অপারেশনঃ
বুলিয়ান অ্যালজেবরায় সকল গানিতিক কাজ শুধুমাত্র ৩টি অপারেশনের মাধ্যমে করা হয়, যথাঃ পূরক, যৌক্তিক যোগ ও গুণ।
পূরকের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ পূরকের ক্ষেত্রে বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাদের পূরকের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলা হয়। পূরক বোঝাতে বার চিহ্ন ( ¯ অথবা ̷ ) ব্যবহৃত হয়। নিয়মগুলো হলোঃ
- 0 = 1
- 1 = 0
যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ যৌক্তিক যোগের ক্ষেত্রে বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাদের যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলা হয়। নিয়মগুলো হলোঃ
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 1
উপরের প্রথম তিনটি আমাদের সাধারণ অ্যালজেবরার যোগের মত হলেও শেষের নিয়মটি আলাদা। কারণ বুলিয়ান যোগের “+” চিহ্ন প্রচলিত অ্যালজেবরার যোগকে বোঝায় না বরং তা দ্বারা যৌক্তিক যোগ বা লজিকার অর(OR) অপারেশন বুঝায়।
গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ যৌক্তিক গুণের ক্ষেত্রে বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাদের গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলা হয়। নিয়মগুলো হলোঃ
- 0 . 0 = 0
- 0 . 1 = 0
- 1 . 0 = 0
- 1 . 1 = 1
দ্বৈত নীতিঃ
১। বুলিয়ান ধ্রুবক পরিবর্তন। অর্থাৎ, 0 ও 1 এর স্থানে যথাক্রামে 1 ও 0 লিখবো।
২। চিহ্ন পরিবর্তন। অর্থাৎ, AND (.) ও OR (+) এর স্থানে যথাক্রামে OR (+) ও AND (.) লিখবো।
| বুলিয়ান রিলেশন | দ্বৈত রিলেশন |
|---|---|
| x.0=0 | x+1=1 |
| x.1=x | x+0=x |
| x.x=x | x+x=x |
| x.y=0 | x+y=1 |
| x(x+y)=x.y | x+(x.y)=x+y |
| (x+y)(x+y)=x | (x.y)+(x.y)=x |
বুলিয়ান উপপাদ্যঃ
| বুলিয়ান উপপাদ্য | |
|---|---|
| দ্বৈত পরিপূরক | x̿ = x |
| অপরিবর্তনীয় উপপাদ্য | x+x=x x.x=x |
| কর্তৃত্ব উপপাদ্য | x+1=1 x.0=0 |
| পরিচিতি উপপাদ্য | x+0=x x.1=x |
| বিনিময় উপপাদ্য | x+y=y+x xy=yx |
| অনুষঙ্গ উপপাদ্য | x+(y+z)=(x+y)+z x(yz)=(xy)z |
| বিভাজন উপপাদ্য | x+yz=(x+y)(x+z) x(y+z)=xy+xz |
| ডি মরগান উপপাদ্য | x.y=x+y
x+y=x.y |
| সহায়ক উপপাদ্য | x+xy=x x(x+y)=x |